Question

【题目】已知抛物线，其中．点在的焦点的右侧，且到的准线的距离是与距离的3倍．经过点的直线与抛物线交于不同的两点，直线与直线交于点，经过点且与直线垂直的直线交轴于点.

（1）求抛物线的方程和的坐标；

（2）判断直线与直线的位置关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）平行.

【解析】

(1)由到的准线的距离是与距离的3倍可得p值，从而得到抛物线的方程和的坐标；

(2)方法一：设直线的方程为 ，对m分类讨论，分别计算二者的斜率，即可作出判断.方法二：先考虑直线的斜率不存在时，在考虑直线的斜率存在，设直线的方程为，，联立求点坐标，利用两点斜率公式求出，即可得出结论.

(1)抛物线的准线方程为，焦点坐标为 ,

所以有，解得 ,

所以抛物线方程为，焦点坐标为 .

(2)直线 ,

方法一：

设，，

设直线的方程为

联立方程

消元得，,

所以， ,

,

显然，

直线的方程为 ,

令，则，则,

因为 ，所以 ,

直线的方程为，

令，则，则

① 当时，直线 的斜率不存在，，可知 ，

直线的斜率不存在，则

② 当时，，，

则

综上所述，

方法二：

直线

(i) 若直线的斜率不存在，根据对称性，不妨设，

直线的方程为，则

直线的方程为，即，

令，则，则直线 的斜率不存在，因此

(ii) 设，，

当直线的斜率存在，设直线的方程为，

联立方程，

消元得，，

整理得，

由韦达定理，可得，

，因为，可得.

显然，

直线的方程为

令，则，则

因为 ，所以

直线的方程为，

令，则，则

，则

综上所述， .