Question

9．如图所示，平面四边形ABCD中，AB=AC=BC=$\sqrt{3}$，CD=AD=1，已知$\overrightarrow{AE}$=$λ\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{CF}$=λ$\overrightarrow{CB}$，λ∈（0，1），且存在实数t使$\overrightarrow{CE}$=t$\overrightarrow{CD}$+（1-t）$\overrightarrow{CF}$，则$\overrightarrow{EA}$•$\overrightarrow{AB}$=（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． -$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． -$\frac{3}{4}$
• D． -1

Answer 1

分析 由向量的数量积的定义可得$\overrightarrow{EA}$•$\overrightarrow{AB}$=-$\frac{3}{2}$λ，存在实数t使$\overrightarrow{CE}$=t$\overrightarrow{CD}$+（1-t）$\overrightarrow{CF}$，则D，E，F共线，再由S_△CDF=S_△CDE+S_△CEF，运用三角形的面积公式计算可得λ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即可得到所求值．

解答 解：$\overrightarrow{EA}$•$\overrightarrow{AB}$=-$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AB}$=-λ$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$
=-$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$λ×cos60°=-$\frac{3}{2}$λ，
由$\overrightarrow{AE}$=$λ\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{CF}$=λ$\overrightarrow{CB}$，可得AE=CF=$\sqrt{3}$λ，
CE=$\sqrt{3}$（1-λ），
在△ACD中，AC=$\sqrt{3}$，CD=AD=1，则∠DCA=30°，
存在实数t使$\overrightarrow{CE}$=t$\overrightarrow{CD}$+（1-t）$\overrightarrow{CF}$，
即有D，E，F共线．
则S_△CDF=S_△CDE+S_△CEF，
即有$\frac{1}{2}$CD•CF=$\frac{1}{2}$CD•CE•sin30°+$\frac{1}{2}$CE•CF•sin60°，
即1•$\sqrt{3}$λ=1•$\sqrt{3}$（1-λ）•$\frac{1}{2}$+$\sqrt{3}$（1-λ）•$\sqrt{3}$λ•$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得λ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
则$\overrightarrow{EA}$•$\overrightarrow{AB}$=-$\frac{3}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查向量的数量积的定义和向量共线定理，考查三角形的面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．