Question

如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．
（1）若A、B的坐标分别是A(

3

5

，

4

5

)，B(-

5

13

，

12

13

)，求cos（β-α）；
（2）若点C(-1 ， 

3

)，求函数f(α)=

OA

•

OC

的值域．

Answer 1

分析：（1）根据A、B都是单位圆上的点，结合三角函数的定义算出α、β的正弦、余弦之值，再利用两角差的余弦公式即可算出cos（β-α）的值；
（2）根据平面向量数量积的坐标运算公式，结合三角恒等变换化简，得f（α）=2sin(α-

π

6

)，再根据α为锐角并利用正弦函数的图象与性质，不难得到函数f（α）的值域．

解答：解：（1）∵A(

3

5

，

4

5

)，B(-

5

13

，

12

13

)都在单位圆上
∴根据三角函数的定义，得cosα=

3

5

，sinα=

4

5

，cosβ=-

5

13

，sinβ=

12

13

．
因此，cos(β-α)=cosβcosα+sinβsinα=(-

5

13

)×

3

5

+

12

13

×

4

5

=

33

65

．       （ 6分）
（2）由题意，可知

OA

=(cosα，sinα)，

OC

=(-1，

3

)．
∴f(α)=

OA

•

OC

=

3

sinα-cosα=2sin(α-

π

6

)，
∵0＜α＜

π

2

，∴-

π

6

＜α-

π

6

＜

π

3

，可得-

1

2

＜sin(α-

π

6

)＜

3

2

由此可得：-1＜f(α)＜

3

，
∴函数f(α)=

OA

•

OC

的值域为(-1，

3

)．     （ 13分）

点评：本题以向量数量积运算为载体，求三角函数式的取值范围，着重考查了三角函数的图象与性质、三角函数的定义与三角恒等变换等知识，属于中档题．