Question

（2013•浙江模拟）如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE=2，FA=FE，∠AEF=45°．
（1）线段CD的中点为P，线段AE的中点为M，求证：PM∥平面BCE；
（2）求直线CF与平面BCE所成角的正切值．

Answer 1

分析：（1）取AB的中点为N，连接MN，PN，由三角形的中位线定理和平行四边形的性质与判定即可证明平面PMN∥平面EBC，再利用面面平行的性质定理即可得到结论；
（2）由面面垂直的性质可得CB⊥EF；再由∠AEF=∠AEB=45°，可得FE⊥EB，从而可得FE⊥平面BCE，可得∠FCE为直线CF与平面BCE所成角．再由已知可求出EC，EF即可．

解答：（1）取AB的中点为N，连接MN，PN，
又∵M是AE的中点，∴MN∥EB．
∵BN

∥

.

PC，∴四边形BCPN是平行四边形．
∴PN∥BC，
∵MN∩NP=N．
∴面PMN∥面EBC，
∴PM∥平面BCE．
（2）解：∵正方形ABCD⊥平面四边形ABEF，BC⊥AB，
∴BC⊥平面ABEF，
∴BC⊥EF，BC⊥BE．
∵△ABE是等腰直角三角形，AE=AB=2，∴∠AEB=45°，EB=2

2

．
又∵∠AEF=45°．
∴∠FEB=90^°．
∴FE⊥EB．
又EB∩BC=B，FE⊥面EBC，
∴∠FCE为直线CF与平面BCE所成角，
由上面可知：EC=

BC2+EB2

=2

3

．
∵FA=FE，∠AEF=45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴FE=

2

．
∴tan∠FCE=

FE

EC

=

6

6

．

点评：熟练掌握三角形的中位线定理和平行四边形的性质与判定、面面平行的判定与性质定理、面面垂直的性质、线面垂直的判定和性质定理、线面角的定义是解题的关键．