Question

一个多面体的直观图（主观图、左视图、俯视图）如图所示，M、N分别为A₁B₁、B₁C₁的中点.

   （1）求证：MN∥平面ACC₁A₁；

   （2）求证：MN⊥平面A₁BC；

   （3）求二面角A―A₁B―C的大小.

Answer 1

解：由题意可知，这个几何体是直三棱柱，且AC⊥BC，AC=BC=CC₁.

   （1）连结AC₁，AB₁.

        由直三棱柱的性质得AA₁⊥平面A₁B₁C₁，

所以AA₁⊥A₁B₁，则四边形ABB₁A₁为矩形.

        由矩形性质得AB₁过A₁B的中点M.

        在△AB₁C₁中，由中位线性质得MN//AC₁，

        又AC₁平面ACC₁A₁，MN平面ACC₁A₁，

        所以MN//平面ACC₁A₁

   （2）因为BC⊥平面ACC₁A₁，AC平面ACC₁A₁，

所以BC⊥AC₁.

        在正方形ACC₁A₁中，A₁C⊥AC₁.

        又因为BC∩A₁C=C，所以AC₁⊥平面A₁BC.

        由MN//AC₁，得MN⊥平面A₁BC.

   （3）由题意CB，CA，CC₁两两垂直，故可以C为的点，

CB，CA，CC₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

又AC = BC = CC₁ = a，

        则

则AB中点E的坐标为， 

为平面AA₁B的法向量.

         又AC₁⊥平面A₁BC，故为平面A₁BC的法向量

         设二面角A―A₁B―C的大小为θ，

         则

         由题意可知，θ为锐角，所以θ= 60°，即二面角A―A₁B―C为60°