Question

（本小题满分12分）已知函数为常数）的所有极值之和为零；

（1）求及的极大值点；

（2）若的极大值为,对任意，恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（1），极大值点为1；（2）．

【解析】

试题分析：（1）这类问题解法大家比较熟悉，首先求出的导函数，

，即的两根为极值点，从而有，，于是我们有，所以，，根据极大值点的定义可得极大值点为；（2）由（1）可知，这样就有．题中对任意，恒成立，首先得到恒成立，因此有．不等式恒成立转化为任意恒成立，这样就是函数的最小值不小于0，其导函数，这时出现的一个问题，就是或没办法解出，故对再一次求导，，同样设，求出，由此可得，时，，即，递增，于是有时，，递减；时，，递增，所以，满足条件；当时，存在，使，这时可得出当时，递减，于是有不合题意，故可得结论.

试题解析：（1），方程中

有两个解 是的两个极值点

的极大值点为1.

（2） 对任意，恒成立

即对任意，恒成立 对恒成立

故

任意恒成立，

令

令

时递减，时递增

时，递增

时，递减；时，递增

满足条件 时，存在，使

当时， 递减，

递减， 此时不恒成立 故的取值范围是．

考点：导数与极值，导数与函数的单调性.