Question

设函数f(x)=log₂（10-ax），a为常数，若f(3)=2。
（1）求a的值；
（2）求使f(x)≤0的x的取值范围；
（3）若在区间[1，3]内的每一个x值，不等式f(x)＞2^x+m恒成立，求实数m的取值范围；
（4）讨论关于x的方程|f(x)|=c+9x-x²的根的个数。

Answer 1

解：（1）由，得，
∴10-3a=4，∴a=2。
（2） 由（1）得，
∵，
∴，
∴的x的取值范围为。
（3） 由得在[1，3]上恒成立，
即改求函数在[1，3]上的最小值，
又在上是单调递减，且在上是单调递增，
∴在[1，3]上是单调递减的，
∴，即m＜-4，
故实数m的取值范围是。
（4）要求方程的根的个数，
即改求函数和函数的图象的交点个数，
∵在上递减，在上递增，
∴，
又，
∴，
由图象，得
①当c+＞0，即c＞-时，方程有两个根；
②当c+=0，即c=-时，方程有一个根；
③当c+＜0，即c＜-时，方程没有根。