题目内容
一非零向量列{an}满足a1=(x1，y1)，an=(xn，yn)=
(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)(n≥2)，(1)证明：{|an|}是等比数列；
(2)求an-1与an的夹角θn(n≥2)，若bn=2nθn-1，Sn=b1+b2+…+bn，求Sn；
(3)设a1=(1，2)，把a1，a2，…，an，…中所有与a1共线的向量按照原来的顺序排成一列，记为b1，b2，…，bn，…，令
=b1+b2+b3+…+bn(O为坐标原点)，
求点列{Bn}的极限点B的坐标(注：若点Bn的坐标为(tn，sn)且
tn=t，
sn=s，则点B(t，s)为点列{Bn}的极限点).
解：(1)|an|
=
=|an-1|对任意n≥2恒成立，即|an|=|an-1|，故{|an|}是首项为|a1|，公比为的等比数列；
(2)an-1·an=(xn-1，yn-1)·
(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)=
(xn-12+yn-12)=
|an-1|2，cos〈an-1，an〉=
，将|an|=
|an-1|，an-1·an=
|an-1|2代入上式可得cos〈an-1，an〉=
，所以an-1与an的夹角为θn=
；bn=2nθn-1=
-1，则{bn}为等差数列，Sn=
×n=
(1+n)n-n=
(n2+n)-n.
(3)∵a1=(x1，y1)，an=
(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)，∴a2=
(x1-y1，x1+y1)，
a3=
(-y1，x1)，a4=
(-x1-y1，x1-y1)，a5=-
(x1·y1)，类推得a1∥a5∥a9…，所以b1=a1，b2=a5，…bn=a4n-3(也可用数学归纳法证明)，bn=a4n-3=(-14)n-1(x1·y1)，设
=(tn，sn)，则tn=［1+(-
)+(-
)2+…+(-
)n-1］x1=
［1-(-
)n］，
tn=
，Sn=［1+(-
)+(-
)2+…+(-
)n-1］y1=
［1-(-
)n］，
sn=
，所以，极限点B的坐标为(
，
).
(xn-1-yn-1,xn-1+yn-1)(n≥2),
tn=t,
sn=s，则点B（t,s）为点列{Bn}的极限点）.