题目内容

已知向量
a
=（sinx，1），
b
=（cosx，-
1
2
）．
（Ⅰ） 当
a
⊥
b
时，求|
a
+
b
|的值；
（Ⅱ）求函数f（x）=
a
•(
b
-
a
)的最小正周期和单调递增区间．
分析：（Ⅰ）由已知得
a
•
b
=0，而|
a
+
b
|=
a
2+2
a
•
b
+
b
2
，代入可得；（Ⅱ）化简可得f（x）=
2
2
sin（2x+
π
4
）-2，易得周期和单调区间．
解答：解：（Ⅰ）由已知得：
a
⊥
b
，所以
a
•
b
=0，
∴|
a
+
b
|=
(
a
+
b
)2
=
a
2+2
a
•
b
+
b
2
=
a
2+
b
2

=
sin2x+1+cos2x+
1
4
=
3
2
；
（Ⅱ）∵f（x）=
a
•(
b
-
a
)=
a
•
b
-
a
2=sinxcosx-
1
2
-sin2x-1
=
1
2
sin2x-
1-cos2x
2
-
3
2
=
2
2
sin（2x+
π
4
）-2，
所以函数的最小正周期为
2π
2
=π，
由2kπ-
π
2
≤2x+
π
4
≤2kπ+
π
2
，解得kπ-
3π
8
≤x≤kπ+
π
8
，k∈Z
故函数的单调递增区间为[kπ-
3π
8
，kπ+
π
8
]，k∈Z
点评：本题考查三角函数的运算和向量的结合，属基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=（sinθ，-2），
b
=（cosθ，1）
（1）若
a
∥
b
，求tanθ；
（2）当θ∈[-
π
12
，
π
3
]时，求f（θ）=
a
•
b
-2|
a
+
b
|2的最值．
已知向量
a
=（sinθ，1），
b
=（1，-cosθ），θ∈（0，π）
（Ⅰ）若
a
⊥
b
，求θ；
（Ⅱ）若
a
•
b
=
1
5
，求tan(2θ+
π
4
)的值．
已知向量
a
=（sinθ，cosθ），
b
=（2，1），满足
a
∥
b
，其中θ∈(0，
π
2
)
（I）求tanθ值；
（Ⅱ）求
2
sin(θ+
π
4
)(sinθ+2cosθ)
cos2θ
的值．
已知向量
a
=（sinθ，cosθ）与
b
=（
3
，1），其中θ∈（0，
π
2
）
（1）若
a
∥
b
，求sinθ和cosθ的值；
（2）若f（θ）=(
a
+ 
b
)2，求f（θ）的值域．
已知向量
a
=（sinθ，
3
cosθ），
b
=（1，1）．
（1）若
a
∥
b
，求tanθ的值；
（2）若|
a
|=|
b
|，且0＜θ＜π，求角θ的大小．

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