Question

梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠B = 60°，AB =BC，E为AB的中点.求证:△ECD为等边三角形.

图1-1-21

Answer 1

思路分析:一般在梯形中给出了一腰的中点，常添加的辅助线有:①过这一点作底边的平行线，由平行线等分线段定理推论得另一腰的中点；②可延长DE（或CE）与底边相交，构造全等三角形.

证明:连结AC，过点E作EF∥AD交DC于F.?

∵梯形ABCD,∴AD∥BC.∴AD∥EF∥BC.?

又∵E是AB的中点，∴F是DC的中点

（经过梯形一腰的中点与底平行的直线平分另一腰）.?

∵DC⊥BC,∴EF⊥DC.?

∴ED=EC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）.?

∴△EDC为等腰三角形.?

∵AB =BC,∠B =60°,?

∴△ABC是等边三角形.?

∴∠ACB =60°.?

又∵E是AB边中点,?

∴CE平分∠ACB.?

∴∠1=∠2=30°.

∴∠DEF=30°.

∴∠DEC=60°.?

又∵ED=EC,

∴△DEC为等边三角形.