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精英家教网如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DA⊥AB，AD=3，AB=4，BC=
3
，点E在线段AB的延长线上．若曲线段DE（含两端点）为某曲线L上的一部分，且曲线L上任一点到A、B两点的距离之和都相等．
（1）建立恰当的直角坐标系，求曲线L的方程；
（2）根据曲线L的方程写出曲线段DE（含两端点）的方程；
（3）若点M为曲线段DE（含两端点）上的任一点，试求|MC|+|MA|的最小值，并求出取得最小值时点M的坐标．
分析：（1）由题意，先建立平面直角坐标系，利用曲线的方程这一概念求其动点的轨迹方程；
（2）由题意知xD＜x＜xE，y≥0，而xD=xA=-2，xE=4，从而得出所求曲线段DE的方程，利用曲线的方程这一概念求其动点的轨迹方程，要注意求解方程之后要有题意去排杂；
（3）由椭圆的定义及点M为曲线段DE（含两端点）上的任一点可知|MA|+|MB|=2a=8，即|MA|=8-|MB|，则|MC|+|MA|=8+|MC|-|MB|≥8-|BC|=8-2
3
即可求得|MC|+|MA|有最小值．
解答：解（1）如图，以AB所在的直线为x轴，其垂直平分线为y轴，建立所示的直角坐标系，
则A(-2，0)，B(2，0)，C(2，
3
)，D(-2，3)，|DA|=3，|DB|=5．
设动点M（x，y）为曲线L上的任一点，
则|MA|+|MB|=|DA|+|DB|=8，精英家教网
即
(x+2)2+y2
+
(x-2)2+y2
=8
整理得
x2
16
+
y2
12
=1，为所求曲线L的方程
（2）由题意知xD＜x＜xE，y≥0，
而xD=xA=-2，xE=4
则所求曲线段DE的方程为
x2
16
+
y2
12
=1(-2≤x≤4，y≥0)
（3）由椭圆的定义及点M为曲线段DE（含两端点）上的任一点可知|MA|+|MB|=2a=8，即|MA|=8-|MB|，
则|MC|+|MA|=8+|MC|-|MB|≥8-|BC|=8-2
3
，
当且仅当点M位于线段BC的交点处时等号成立，
由BC⊥AB知此时点M的横坐标为2，则其纵坐标为3，
即当点M的坐标为（2，3）时|MC|+|MA|有最小值8-2
3
．
点评：重点考查了利用曲线的方程这一概念，先建立平面直角坐标系，然后利用定义法求其动点的轨迹方程，并进行实际问题的排杂．
练习册系列答案
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精英家教网如图，在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，SD=
2
a．
（Ⅰ）求证：平面SAB⊥平面SAD；
（Ⅱ）设SB的中点为M，且DM⊥MC，试求出四棱锥S-ABCD的体积．
如图，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2．点E、F分别是PC、BD的中点，现将△PDC沿CD折起，使PD⊥平面ABCD，
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求点A到平面PBC的距离．
如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD=CD=1，AB=3，动点P在BCD内运动（含边界），设
AP
=α
AD
+β
AB
，则α+β的最大值是（　　）
如图，在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB⊥AD，AB=4，BC=2，AD=4，若P为CD的中点，则
PA
•
PB
的值为
5
5
．
如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AD=1，AB=2，CD=3，E、F分别为线段CD、AB上的点，且EF∥AD．将梯形沿EF折起，使得平面ADEF⊥平面BCEF，折后BD与平面ADEF所成角正切值为
2
2
．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求平面BCEF与平面ABD所成二面角（锐角）的大小．

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