Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=

π

2

，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE=x，G是BC的中点．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF （如图）．
（1）当x=2时，求证：BD⊥EG；
（2）若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f（x），求f（x）的最大值；
（3）当f（x）取得最大值时，求二面角D-BF-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由AEFD⊥平面EBCF，EF∥BC∥AD，可得AE⊥EF，进而由面面垂直的性质定理得到AE⊥平面EBCF，进而建立空间坐标系E-xyz，求出BD，EG的方向向量，根据两个向量的数量积为0，即可证得BD⊥EG；
（2）根据等体积法，我们可得f（x）=V_D-BCF=V_A-BFC的解析式，根据二次函数的性质，易求出f（x）有最大值；
（3）根据（2）的结论，我们求出平面BDF和平面BCF的法向量，代入向量夹角公式即可得到二面角D-BF-C的余弦值．

解答：证明：（1）∵平面AEFD⊥平面EBCF，∵EF∥AD，∠AEF=

π

2

，
∴AE⊥EF，∴AE⊥平面EBCF，AE⊥EF，AE⊥BE，
又BE⊥EF，故可如图建立空间坐标系E-xyz．
∵EA=2，∴EB=2，
又∵G为BC的中点，BC=4，∴BG=2．
则A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0），
∴

BD

=（-2，2，2），

EG

=（2，2，0），

BD

•

EG

=（-2，2，2）•（2，2，0）=0，
∴BD⊥EG．
解：（2）∵AD∥面BFC，
所以f（x）=V_D-BCF=V_A-BFC=

1

3

×S△BCF×AE=

1

3

×

1

2

×4(4-x)x=-

2

3

(x-2)2+

8

3

≤

8

3

，
即x=2时f（x）有最大值为

8

3

．（8分）
（3）设平面DBF的法向量为

n1

=(x，y，z)，
∵AE=2，B（2，0，0），D（0，2，2），
F（0，3，0），∴

BF

=(-2，3，0)，

BD

=（-2，2，2），
则

n1 • BD =0 n1 • BF =0

，
即

(x，y，z)•(-2，2，2)=0 (x，y，z)•(-2，3，0)=0

，

-2x+2y+2z=0 -2x+3y=0

取x=3，y=2，z=1，
∴

n1

=(3，2，1)
∵AE⊥面BCF，
∴面BCF一个法向量为

n2

=(0，0，1)，
则cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

|n1 || n2|

=

14

14

，（14分）
由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为-

14

14

．

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，棱锥的体积，直线与平面垂直的性质，其中（1）的关键是建立坐标系，将线线垂直转化为向量数量积为0，（2）的关键是利用等体积法将三棱锥BCDF的体积，转化为四棱锥ABCF的体积，（3）的关键是求出平面BDF和平面BCF的法向量，将二面角问题转化为向量的夹角．