Question

已知函数f（x）=

x+6x≤0 x2-2x+2x＞0

（1）求不等式f（x）＞5的解集；
（2）若方程f（x）-

m2

2

=0有三个不同实数根，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：分段函数的应用,根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当x≤0时，不等式f（x）＞5化为x+6＞5；当x＞0时，不等式f（x）＞5化为x²-2x+2＞5；求并集即可；
（2）方程f(x)-

m2

2

=0有三个不同实数根，等价于函数y=f（x）与函数y=

m2

2

的图象有三个不同的交点，
画函数y=f（x）的图象，结合图象解题．

解答： 解：（1）当x≤0时，由x+6＞5得x＞-1，∴-1＜x≤0，
当x＞0时，由 x²-2x+2＞5得x＜-1或x＞3，∴x＞3，
综上所述，不等式的解集为（-1，0]∪（3，+∞）
（2）方程f(x)-

m2

2

=0有三个不同实数根，等价于函数y=f（x）与函数y=

m2

2

的图象有三个不同的交点，
函数y=f（x）的图象：

由图可知：1＜

m2

2

＜2，得：-2＜m＜-

2

或

2

＜m＜2
所以，实数m的取值范围(-2，-

2

)∪(

2

，2)

点评：本题主要考查函数与不等式之间的关系，函数如果是分段的，要在每一段上考虑应用函数表达式是解题的关键．