Question

【题目】已知函数（）.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数存在两个极值点，，求证：.

Answer 1

【答案】(1) 当时,单调递减；当时, 在与上单调递减；在上单调递增.

(2)证明见解析

【解析】

(1)求导得,再将看成关于的二次函数,根据判别式分析二次函数的零点在判断的正负区间与的单调性即可.

(2)由(1)可设两个极值点,再根据(1)中所得的单调区间,分别代入证明即可.

(1)因为,故.

设函数,令,则讨论.

①当,即时, 恒成立,则,单调递减.

②当,即时,令则两根

,且,此时的两根

.

故在与上, ,单调递减；

在上, ,单调递增.

综上所述,当时,在上单调递减；当时, 在与上单调递减；在上单调递增.

(2)由(1) 若函数存在两个极值点,,即的两根.不妨设.

①先证,即.由(1)可知, 在上, 单调递增,故显然成立.

②再证,即,

即证.

又,故,

即证,显然成立.

故