Question

已知函数f（x）=

-x2+ax，x≤1 2ax-5，x＞1

，若存在x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：当-

a

-2

＜1，即a＜2时，由二次函数的图象和性质，易得满足条件；当-

a

-2

≥1，即a≥2时，若存在x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）成立，则函数f（x）=

-x2+ax，x≤1 2ax-5，x＞1

，不为单调函数，即-1+a＞2a-5，综合讨论结果可得答案．

解答： 解：当-

a

-2

＜1，即a＜2时，由二次函数的图象和性质，可知：
存在x₁，x₂∈（-∞，1]且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）成立，
当-

a

-2

≥1，即a≥2时，
若存在x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）成立，
则-1+a＞2a-5，
解得：a＜4，
∴2≤a＜4，
综上所述：实数a的取值范围是a＜4，
故答案为：a＜4

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，分段函数的图象和性质，正确理解分段函数的单调性，是解答的关键．