Question

1．如图，在三棱锥A-BCD中，AB=BC=CD=DA=AC，BD=$\sqrt{2}$AB，求证：平面ABD⊥平面BCD．

Answer 1

分析 取BD的中点O，连接OA，OC，证明AO⊥OC，AO⊥BD，OC∩BD=O，可得AO⊥平面BCD，即可证明平面ABD⊥平面BCD．

解答 证明：取BD的中点O，连接OA，OC，
∵AB=BC=CD=DA，
∴AO⊥BD，CO⊥BD，
∵BD=$\sqrt{2}$AB，
∴AO=CO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，
∴AO²+CO²=AC²，
∴AO⊥OC，
∵AO⊥BD，OC∩BD=O，
∴AO⊥平面BCD，
∵AO?平面ABD，
∴平面ABD⊥平面BCD．

点评 本题考查线面、面面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，证明AO⊥平面BCD是关键．