Question

20．如图所示，已知三棱锥O-ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，△ABC为等边三角形，M为△ABC内部一点，点P在OM的延长线上，且PA=PB．
（1）证明：OA=OB；
（2）证明：平面PAB⊥平面POC；
（3）若AP：PO：OC=$\sqrt{5}$：$\sqrt{6}$：1，求二面角P-OA-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用勾股定理进行证明．
（2）根据题意，通过线面垂直的判定定理及性质定理即可证明平面PAB⊥平面POC．
（3）以OA、OB、OC所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则所求值即为平面POA的一个法向量与平面OAB的一个法向量的夹角的余弦值，利用向量法求解．

解答 （1）证明：∵OA，OB，OC两两垂直，
∴OA²+OC²=AC²，OB²+OC²=BC²，
又△ABC为等边三角形，AC=BC，
∴OA²+OC²=OB²+OC²，
∴OA=OB；
（2）证明：∵OA，OB，OC两两垂直，
∴OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB=O，OA、OB?平面OAB，
∴OC⊥平面OAB，
而AB?平面OAB，∴AB⊥OC，
取AB中点D，连结OD、PD，
由（1）知，OA=OB，∴AB⊥OD，
由已知PA=PB，∴AB⊥PD，
∴AB⊥OD，AB⊥PD，OD∩PD=D，OD、PD?平面POD，
∴AB⊥平面POD，
而PO?平面POD，∴AB⊥PO，
∴AB⊥OC，AB⊥PO，OC∩PO=O，OC、PO?平面POC，
∴AB⊥平面POC，
又AB?平面PAB，∴平面PAB⊥平面POC；
（3）解：如图，以OA、OB、OC所在的直线分别为x、y、z轴，
建立空间直角坐标系，由（1）同理可证OA=OB=OC，
设OA=OB=OC=1，则O（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，0），
$\overrightarrow{OA}$=（1，0，0），$\overrightarrow{AB}$=（-1，1，0），
设P（x，y，z），其中x＞0，y＞0，z＞0，
∴$\overrightarrow{OP}$=（x，y，z），$\overrightarrow{AP}$=（x-1，y，z），
由（2）知$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{AB}$，且|$\overrightarrow{PA}$|=$\sqrt{5}|\overrightarrow{OC}|=\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{OP}$|=$\sqrt{6}|\overrightarrow{OC}|=\sqrt{6}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（-1）×x+y=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=6}\\{（x-1）^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=5}\end{array}\right.$，解得x=y=1，z=2，即$\overrightarrow{OP}$=（1，1，2），
设平面POA的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
又$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{OA}=x=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{OP}=x+y+2z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，-2，1），
由（2）知，平面OAB的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
记二面角P-OA-B的平面角为θ，由图可知θ为锐角，
∴cosθ=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{1}{\sqrt{5}}$|=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴二面角P-OA-B的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查二面角，空间中面与面的位置关系，向量数量积运算，注意解题方法的积累，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．