Question

如图，已知曲线C₁：y=x³（x≥0）与曲线C₂：y=﹣2x³+3x（x≥0）交于O，A，直线x=t（0＜t＜1）与曲线C₁，C₂分别交于B，D．

（Ⅰ）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系式S=f（t）；

（Ⅱ）讨论f（t）的单调性，并求f（t）的最大值．

Answer 1

考点：

根据实际问题选择函数类型；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

专题：

计算题；压轴题．

分析：

（Ⅰ）先求出两曲线的交点O、A坐标，由直线x=t（0＜t＜1）与曲线C₁，C₂分别交于B，D表示出BD的长，利用四边形ABOD的面积等于三角形ABO的面积+三角形OBD的面积；即可表示函数f（t）的关系式；

（Ⅱ）令f'（t）=0解得t，分区间讨论f（t）的增减性得到哦f（t）的最大值及此时t的值即可．

解答：

解：（Ⅰ）由得交点O、A的坐标分别是（0，0），（1，1）.，

即．

（Ⅱ）．令f'（t）=0解得．

当，从而f（t）在区间上是增函数；

当，从而f（t）在区间上是减函数．

所以当时，f（t）有最大值为．

点评：

考查学生根据实际问题选择函数关系的能力，以及利用导数研究函数增减性，利用导数求闭区间上函数最值的能力．