Question

（2009•黄冈模拟）如图，已知曲线c1：

x2

a2

+

y2

b 2

=1(b＞a＞0，y≥0)与抛物线c₂：x²=2py（p＞0）的交点分别为A、B，曲线c₁和抛物线c₂在点A处的切线分别为l₁、l₂，且l₁、l₂的斜率分别为k₁、k₂．
（Ⅰ）当

b

a

为定值时，求证k₁•k₂为定值（与p无关），并求出这个定值；
（Ⅱ）若直线l₂与y轴的交点为D（0，-2），当a²+b²取得最小值9时，求曲线c₁和c₂的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用导数分别求l₁、l₂的斜率分别为k₁、k₂．进而可求k₁•k₂，利用点A在曲线c₁和抛物线c₂上，结合

b

a

为定值时可得结论．
（Ⅱ）设A点的坐标为(x0，

x 2 0

2p

)，利用l₂过点D（0，-2），则x₀²=4p，从而可求点A(-2

p

，2)的坐标代入曲线c₁的方程得

4p

a2

+

4

b2

=1．从而利用基本不等式可求a²+b²最小值，注意等号成立的条件．

解答：解：（Ⅰ）设点A的坐标为（x₀，y₀），
由

x2

a2

+

y2

b 2

=1(b＞a＞0，y≥0)得：y=

b

a

a2-x2

则y′=-

bx

a a2-x2

，∴k1=y′|_x=x0…2′
由x²=2py（p＞0）得y=

1

2p

x2，∴k2=y′|_x=x0…4′
∴k1•k2=-

b x 2 0

pa a2- x 2 0

又∵x₀²=2py₀，

x 2 0

a2

+

y 2 0

b2

=1，∴

x 2 0

a2- x 2 0

=

2pb

a

．
∴k1•k2=-

b x 2 0

pa a2- x 2 0

=-

2b2

a2

为定值．…6′
（Ⅱ）如图设A点的坐标为(x0，

x 2 0

2p

)，则x₀∈（-a，0）．
由（Ⅰ）知：k2=

x0

p

，则直线l2：y=

x0

p

(x-x0)+

x 2 0

2p

．
∵l₂过点D（0，-2），则x₀²=4p，即x0=-2

p

，∴点A(-2

p

，2)．…8′
将A(-2

p

，2)代入曲线c₁的方程得

4p

a2

+

4

b2

=1．
∴a2+b2=(a2+b2)•(

4p

a2

+

4

b2

)=4p+4+

4a2

b2

+

4pb2

a2

．
由重要不等式得a2+b2≥4p+8

p

+4．…10′
当且仅当“=”成立时，有

4p+8 p +4=9 4pb2 a2 = 4a2 b2 4p a2 + 4 b2 =1

，解得

p= 1 4 a2=3 b2=6

∴c1：

x2

3

+

y2

6

=1(y≥0)，c₂：y=2x²．…13′

点评：本题的考点是直线与圆锥曲线的综合问题，主要考查椭圆与抛物线的位置关系，考查利用基本不等式求最值．