Question

(本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知定点A(-2，0)、B(2，0)，M是动点，且直线MA与直线MB的斜率之积为，设动点M的轨迹为曲线C.
(I)求曲线C的方程；
(II)过定点T(-1,0)的动直线与曲线C交于P,Q两点，若，证明：为定值.

Answer 1

（Ⅰ）设动点，则,……………2分
,
即 （）.…………………4分
（Ⅱ）当的斜率不存在时，,
若,.………………6分
当直线的斜率存在时，设的方程为， ，联立方程组
，消去得,
设，则………………8分
.
,
……………10分

.…………………12分

(I)根据动点满足的几何条件进行坐标化建立方程，然后化简即可得到曲线C的方程。但化简方程时要注意等价转化。
(II)直线方程与曲线C的方程联立消元后,根据韦达定理对进行坐标化，即可证明。