题目内容
如图，在平面直角坐标系
中，椭圆
的左、右焦点分别为
，
．已知
和
都在椭圆上，其中
为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设
是椭圆上位于
轴上方的两点，且直线
与直线
平行，
与
交于点P．
（i）若
，求直线的斜率；
（ii）求证：
是定值．
中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；
（2）设
是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P．（i）若
，求直线的斜率；（ii）求证：
是定值．见解析
【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。
【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。
（1）根据椭圆的性质和已知和都在椭圆上列式求解。
（2）根据已知条件，用待定系数法求解
解：（1）由题设知，
，由点在椭圆上，得
，∴
。
由点在椭圆上，得
∴椭圆的方程为
。
（2）由（1）得
，
，又∵∥，
∴设、的方程分别为
，
。
∴
。
∴
。①
同理，
。②
（i）由①②得，
。解
得
=2。
∵注意到
，∴
。
∴直线的斜率为
。
（ii）证明：∵∥，∴
，即
。
∴
。
由点
在椭圆上知，
，∴
。
同理。
。
∴
由①②得，
，
，
∴
。
∴是定值。
和都在椭圆上列式求解。（2）根据已知条件
，用待定系数法求解解：（1）由题设知，
，由点在椭圆上，得，∴。由点
在椭圆上，得∴椭圆的方程为
。（2）由（1）得
，，又∵∥，∴设
、的方程分别为，。∴
。∴
。①同理，
。②（i）由①②得，
。解得=2。∵注意到
，∴。∴直线
的斜率为。（ii）证明：∵
∥，∴，即。∴
。由点
在椭圆上知，，∴。同理。
。∴
由①②得，
，，∴
。∴
是定值。
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为圆
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；
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