Question

在正三棱锥P—ABC中,PC垂直于面PAB,PC=2,则过点P、A、B、C的球的体积为____________.

Answer 1

8π  法一:正三棱锥P—ABC中,PC⊥面PAB,

PA、PB面PAB,∴PA⊥PC,PB⊥PC,∴PA⊥PB.由PA=PC=2,∴AC=4.

过P作PO⊥面ABC,则外接球的球心Q必在PO上,

连结AQ,设外接球半径为R.

则在Rt△AOQ中,AO=,

PO====.

∴OQ=-R,AQ=R.

由勾股定理:AQ²=OQ²+AO²得R²=(-R)²+()².

解得R=.∴V_球=R³=8π.

法二:∵PA、PB、PC两两垂直,且PA=PB=PC=2,

故过P、A、B、C的球的直径即为边长为2的正方体的对角线.

∴2R=2.∴R=.∴V_球=R³=8π.