Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n=na_n-2n（n-1）（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等差数列，并分别写出a_n和S_n关于n的表达式；
（Ⅱ）求

lim

n→∞

(

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

an-1an

)；
（Ⅲ）是否存在自然数n，使得S1+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

=400？若存在，求n的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知a_n=S_n-S_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-4（n-1），从而得到a_n-a_n-1=4（n=2，3，4，）．由此可知a_n=4n-3．所以Sn=

1

2

(a1+an)n=2n2-n．
（Ⅱ）由题设知

lim

n→∞

(

1

a1a2

+

1

a2a3

++

1

an-1an

)=

lim

n→∞

(

1

1×5

+

1

5×9

+

1

9×13

++

1

(4n-7)(4n-3)

)=

lim

n→∞

1

4

(1-

1

4n-3

)；计算可得答案．
（Ⅲ）由题设条件知

Sn

n

=2n-1，所以S1+

S2

2

+

S3

3

++

Sn

n

=1+3+5+7++(2n-1)=n2．由此可知存在满足条件的自然数n=20．

解答：解：（Ⅰ）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-4（n-1），（2分）
得a_n-a_n-1=4（n=2，3，4，）．（3分）
∴数列{a_n}是以a₁=1为首项，4为公差的等差数列．（4分）
∴a_n=4n-3．（5分）Sn=

1

2

(a1+an)n=2n2-n．（6分）
（Ⅱ）

lim

n→∞

(

1

a1a2

+

1

a2a3

++

1

an-1an

)=

lim

n→∞

(

1

1×5

+

1

5×9

+

1

9×13

++

1

(4n-7)(4n-3)

)
=

lim

n→∞

1

4

((

1

1

-

1

5

)+(

1

5

-

1

9

)+(

1

9

-

1

13

)++(

1

4n-7

-

1

4n-3

))（8分）
=

lim

n→∞

1

4

(1-

1

4n-3

)=

1

4

．（10分）
（Ⅲ）由S_n=2n²-n得：

Sn

n

=2n-1，（11分）
∴S1+

S2

2

+

S3

3

++

Sn

n

=1+3+5+7++(2n-1)=n2．（13分）
令n²=400，得n=20，所以，存在满足条件的自然数n=20．（14分）

点评：本题考查数列性质的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答．