Question

设函数f（x）=-4x+b，且不等式|f（x）|＜k的解集为{x|-1＜x＜2}．
（Ⅰ）求b，k的值；
（Ⅱ）证明：函数的图象关于点对称．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把绝对值不等式进行等价转化，求出解集，将求出的解集和已知的解集作对比，列方程组解出b，k的值．
（Ⅱ）在φ（x）图象上任取一点N（x_°，y_°），求出N（x_°，y_°）关于的对称点N′的坐标，证明N′的坐标仍然满足函数φ（x）的解析式，即可证得结论成立．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=-4x+b，∴|f（x）|＜k可化为|-4x+b|＜k，∴＜x＜，
又|f（x）|＜k的解集为{x|-1＜x＜2}，∴解得（6分）

证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=-4x+2，∴=，
在φ（x）图象上任取一点N（x_°，y_°），∴．
设N（x_°，y_°）关于的对称点为N′，则N′（1-x_°，-2-y_°）．
∵，
又=，
∴N′（1-x_°，-2-y_°）在函数φ（x）图象上，
∴函数的图象关于点对称．（13分）
点评：本题考查绝对值不等式的解法，证明函数图象关于某个点对称的方法：在函数的图象上任取一点，证明此点关于某点的对称点还在此函数的图象上．