Question

17．设a，b，c，d为正实数，且满足a²+b²+c²+d²=4．证明：a+b+c+d≥$\frac{2}{3}$（ab+bc+cd+da+ac+bd）．

Answer 1

分析 运用公式：（a+b+c+d）²=a²+b²+c²+d²+2（ab+bc+cd+da+ac+bd）是证明本题的重要前提，再通过适当换元并运用作差比较法，二次函数的性质证明不等式．

解答 证明：（a+b+c+d）²=a²+b²+c²+d²+2（ab+bc+cd+da+ac+bd），
设x=a+b+c+d，y=ab+bc+cd+da+ac+bd，因为a²+b²+c²+d²=4，
所以，x²=4+2y，解得y=$\frac{1}{2}$（x²-4），
作差，A=（a+b+c+d）-$\frac{2}{3}$（ab+bc+cd+da+ac+bd）
=x-$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{2}$（x²-4）
=-$\frac{1}{3}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{12}$
根据柯西不等式：a+b+c+d≤$\sqrt{4（a^2+b^2+c^2+d^2）}$=4，即x∈（0，4]，
所以，当x=4时，A_min=-$\frac{1}{3}$（4-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{12}$=0，
因此，A≥0恒成立，
故a+b+c+d≥$\frac{2}{3}$（ab+bc+cd+da+ac+bd）．

点评 本题主要考查了运用作差法证明不等式，涉及到二次函数的性质和柯西不等式的应用，以及对函数思想，换元法的考查，属于难题．