Question

正△的边长为4，是边上的高，分别是和边的中点，现将△沿翻折成直二面角．
（１）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；
（２）求二面角的余弦值；
  （３）在线段上是否存在一点，使？证明你的结论.

 
 

Answer 1

解：法一：（I）如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF//AB，
又AB平面DEF，EF平面DEF.        ∴AB∥平面DEF.   
（II）∵AD⊥CD，BD⊥CD  
 ∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角
∴AD⊥BD   ∴AD⊥平面BCD
取CD的中点M，这时EM∥AD   ∴EM⊥平面BCD
过M作MN⊥DF于点N，连结EN，则EN⊥DF
∴∠MNE是二面角E—DF—C的平面角…………6分
在Rt△EMN中，EM=1，MN=
∴tan∠MNE=，cos∠MNE=   ………………………8分
（Ⅲ）在线段BC上存在点P，使AP⊥DE……………………10分
证明如下：在线段BC上取点P。使，过P作PQ⊥CD与点Q，
∴PQ⊥平面ACD      ∵在等边△ADE中，∠DAQ=30°
∴AQ⊥DE∴AP⊥DE………………………………13分
法二：（Ⅱ）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，……4分
平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为
则 即
所以二面角E—DF—C的余弦值为 …8分
（Ⅲ）在平面坐标系xDy中，直线BC的方程为

设
…………………12分
所以在线段BC上存在点P，使AP⊥DE       …………………………13分
另解：设
又       …………………………12分

把
∴在线段BC上存在点P使AP⊥DE                  …………….13分  

略