Question

（本小题满分12分）

如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为边的中点，与平面 所成的角为45°，且．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦的大小．

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：因为底面，
所以，∠SBA是SB与平面ABCD所成的角        …………………1分            
由已知∠SBA=45°，所以AB=SA=1易求得，AP=PD=，…………………3分
又因为AD=2，所以AD²=AP²+PD²，所以_.  …………………4分
因为SA⊥底面ABCD,平面ABCD,
所以SA⊥PD, …………………………………………………………5分
由于SA∩AP=A    所以平面SAP．…………………6分
（Ⅱ）设Q为AD的中点,连结PQ,…………………7分

由于SA⊥底面ABCD,且SA平面SAD，
则平面SAD⊥平面PAD …………………8分
_,PQ⊥平面SAD，SD平面SAD,    _.
过Q作QR，垂足为，连接，则.
又，，
     ∠PRQ是二面角A－SD－P的平面角．…………10分
容易证明△DRQ∽△DAS,则.
因为，，
所以.   …………………12分
在Rt△PRQ中，因为PQ=AB=1，,
所以. …………………13分
所以二面角A－SD－P的余弦为．…………………14分
解法二：因为底面，
所以，∠SBA是SB与平面ABCD所成的角.    ……1分
由已知∠SBA=45°，所以AB=SA=1
建立空间直角坐标系（如图）

        由已知，P为BC中点．
于是A（0,0,0）、B（1,0,0）、P（1,1,0）、D（0,2,0）、S（0,0,1）……………3分
（Ⅰ）易求得,
，．…………………4分
因为，.
所以_，.
由于，所以平面. …………………6分
（Ⅱ）设平面SPD的法向量为_.
由,得解得，
所以. …………………9分
又因为AB⊥平面SAD，所以是平面SAD的法向量，
易得.…………………9分
所以. …………………13分
所以所求二面角的余弦值为．…………………14分

略