题目内容

设a＞0，f（x）=
ex
a
+
a
ex
是R上的偶函数，
（1）求a的值；
（2）若x∈（0，+∞）时，此时函数f（x）的图象上是否存在两点，使这两点的连线与轴平行？并说明理由．
分析：（1）根据题意可得：f（-x）=f（x）在R上恒成立，即等价于(a-
1
a
)(ex-
1
ex
)在R上恒成立，进而求出答案．
（2）根据函数单调性的定义可得：函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，所以函数f（x）的图象上是不存在两点，使这两点的连线与轴平行．
解答：解：（1）因为f（x）=
ex
a
+
a
ex
是R上的偶函数，
所以f（-x）=f（x）在R上恒成立，
所以
e-x
a
+
a
e-x
=
ex
a
+
a
ex
，
等价于(a-
1
a
)(ex-
1
ex
)在R上恒成立，
所以a=1．
（2）设x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，
则有f(x2)-f(x1)=(ex2-ex1)+
ex2-ex1
ex1ex2

由于e＞1，且x1＜x2，
所以f（x2）＞f（x1），
函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，
若x∈（0，+∞）时，函数f（x）的图象上是不存在两点，使这两点的连线与轴平行
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握函数的奇偶性与单调性，并且熟练利用定义证明或者判定函数的这些性质．
练习册系列答案
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设a＞0，f（x）=ax2+bx+c，若曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的倾斜角的取值范围为[0，
π4
]，则P到曲线y=f（x）的对称轴的距离的取值范围为
 
．
设a＞0，f（x）=
ex
a
+
a
ex
是R上的偶函数．则a的值为（　　）
A、-2B、-1C、1D、2
有以下五个命题
①设a＞0，f（x）=ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的倾斜角的取值范围为[0，
π
4
]，则点P到曲线y=f（x）对称轴距离的取值范围为[0，
1
2a
]；
②一质点沿直线运动，如果由始点起经过t称后的位移为s=
1
3
t3-
3
2
t2+2t，那么速度为零的时刻只有1秒末；
③若函数f（x）=loga（x3-ax）（a＞0，且a≠1）在区间(-
1
2
，0)内单调递增，则a的取值范围是[
3
4
，1)；
④定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+1）=-f（x），则f（x）的图象关于x=1对称；
⑤函数y=f（x-2）和y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称．其中正确的有
 
．
设a＞0，f（x）=x2+a|lnx-1|．
（1）当a=2时，求f（x）的单调区间；
（2）当x∈[1，+∞）时，求f（x）的最小值．
设a＞0函数f（x）=x3-ax在[1，+∞）上是单调函数．
（1）求实数a的取值范围；
（2）设x0≥1，f（x1）≥1，且f（f（x0））=x0，求证：f（x0）=x0．

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