Question

设a＞0函数f（x）=x³-ax在[1，+∞）上是单调函数．
（1）求实数a的取值范围；
（2）设x₀≥1，f（x₁）≥1，且f（f（x₀））=x₀，求证：f（x₀）=x₀．

Answer 1

分析：（1）对函数f（x）=x³-ax求导，因为函数f（x）=x³-ax在[1，+∞）上是单调函数，所以当x∈[1，+∞）时，f′（x）≥0，或f′（x）＜0恒成立，再借助二次函数的图象判断即可．
（2）可先设中间变量m=f（x₀），再借助（1）中判断的函数f（x）=x³-ax在[1，+∞）上的单调性，判断m=x₀，即可证明f（x₀）=x₀．

解答：解：（1）∵f（x）=x³-ax，∴f′（x）=3x²-a，
又∵函数f（x）=x³-ax在[1，+∞）上是单调函数．∴当x∈[1，+∞）时，f′（x）≥0，或f′（x）＜0恒成立．
∵f′（x）=3x²-a，
∵f′（x）=3x²-a是开口向上的二次函数，∴f′（x）≤0不可能恒成立，
∴f′（x）≥0在1，+∞）恒成立，∴a≤3
又∵a＞0，∴0＜a≤3
（2）设f（m）=x₀，∵f（f（x₀））=x₀，∴f（f（x₀））=f（m），
∴f（x₀）=m，
由（1）知，f（x）=x³-ax在[1，+∞）上是单调增函数，∴x₀=m，
∴f（x₀）=x₀

点评：本题考察了利用导数判断函数的单调区间，以及单调性的应用，属于导数的应用题．