Question

13．已知点P（2，0），圆C的圆心在直线x-y-5=0上且与y轴切于点M（0，-2），
（1）求圆C的方程；
（2）若直线l过点P且被圆C截得的弦长为4$\sqrt{2}$，求直线l的方程；
（3）设直线ax-y+1=0与圆C交于A，B两点，过点P（2，0）的直线l₂垂直平分弦AB，这样的实数a是否存在，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设圆心坐标为C（a，b），由已知$\left\{\begin{array}{l}{a-b-5=0}\\{b=-2}\end{array}\right.$，由此能求出圆的方程．
（2）设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y-0=k（x-2）．由弦长为$4\sqrt{2}$，故弦心距d=1，由此利用点到直线距离公式求出$k=-\frac{3}{4}$，从而求出直线方程，当l的斜率不存在时，l的方程为x=2也满足条件．
（3）把直线ax-y+1=0代入圆C的方程，由△＞0，得a＜0，从而能求出不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l₂垂直平分弦AB．

解答 解：（1）∵圆C的圆心在直线x-y-5=0上且与y轴切于点M（0，-2），
∴设圆心坐标为C（a，b），则$\left\{\begin{array}{l}{a-b-5=0}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
解得a=3，b=-2，∴圆心C（3，-2），半径r=|MC|=$\sqrt{（0-3）^{2}+（-2+2）^{2}}$=3，
故圆的方程为（x-3）²+（y+2）²=9
即x²+y²-6x+4y+4=0…（4分）
（2）∵点P（2，0），直线l过点P，
∴设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y-0=k（x-2）．
又圆C的圆心为（3，-2），半径r=3，
由弦长为$4\sqrt{2}$，故弦心距d=1…（5分）
由$\frac{{|{3k+2-2k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，解得$k=-\frac{3}{4}$．
所以直线方程为$y=-\frac{3}{4}（x-2）$，即 3x+4y-6=0．…（7分）
当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2也满足条件．
故l的方程为3x+4y-6=0或x=2…（9分）
（3）把直线ax-y+1=0，即y=ax+1．代入圆C的方程，
消去y，整理得（a²+1）x²+6（a-1）x+9=0．
由于直线ax-y-1=0交圆C于A，B两点，
故△=36（a-1）²-36（a²+1）＞0，即-2a＞0，解得a＜0．…（11分）
设符合条件的实数a存在，
由于l₂垂直平分弦AB，故圆心C（3，-2）必在l₂上．
所以l₂的斜率k_PC=-2，而${k_{AB}}=a=-\frac{1}{{{k_{PC}}}}$，所以$a=\frac{1}{2}$．
由于$\frac{1}{2}∉（-∞，0）$，
故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l₂垂直平分弦AB．…（15分）

点评 本题考查圆的方程和直线方程的求法，考查满足条件的实数a是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要注意圆的性质和直线方程的合理运用．