Question

（1）当时，在上恒成立，求实数的取值范围；
（2）当时，若函数在上恰有两个不同零点，求实数的取值范围；
（3）是否存在实数，使函数f（x）和函数在公共定义域上具有相同的单调区间？若存在，求出的值，若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）由a=0,f（x）≥h（x）可得-mlnx≥-x，即 
记，则f（x）≥h（x）在（1,+∞）上恒成立等价于．求得 
当时;;当时， 
故在x=e处取得极小值，也是最小值，
即，故．
（2）函数k（x）=f（x）-h（x）在［1,3］上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a，在［1,3］上恰有两个相异实根。
令g（x）=x-2lnx,则 
当时，,当时，
g（x）在[1,2]上是单调递减函数，在上是单调递增函数。
故 
又g（1）=1,g（3）=3-2ln3
∵g（1）>g（3）,∴只需g（2）<a≤g（3）,
故a的取值范围是（2-2ln2,3-2ln3]
（3）存在m=，使得函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性
,函数f（x）的定义域为（0,+∞）。
若，则，函数f（x）在（0,+∞）上单调递增，不合题意;
若,由可得2x²-m>0，解得x>或x<-（舍去）
故时，函数的单调递增区间为（,+∞）， 单调递减区间为（0, ）
而h（x）在（0,+∞）上的单调递减区间是（0,），单调递增区间是（，+∞）
故只需=，解之得m=
即当m=时，函数f（x）和函数h（x）在其公共定义域上具有相同的单调性

略