Question

如图，点A，B在抛物线y²=2px（p＞0）上，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于D，则点D在（　　）

A．某个圆上运动

B．某个椭圆上运动

C．某个双曲线上运动

D．某个抛物线上运动

Answer 1

分析：设出A，B，D的坐标，利用OA⊥OB，可得y₁y₂=-4p²，利用OD⊥AB，A，D，B共线，即可求得结论．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x，y），（y₁≠y₂）则
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0
∵点A，B在抛物线y²=2px
∴y₁²y₂²=4p²x₁x₂，
∴y₁y₂=-4p²，
∵OD⊥AB，∴

y

x

•

y2-y1

x2-x1

=-1
∴

y

x

•

2p

y2+y1

=-1
∵A，D，B共线，

AD

=(x-x1，y-y1)，

BD

=(x-x2，y-y2)
∴（x-x₁）（y-y₂）=（y-y₁）（x-x₂）
∴x•（y₁-y₂）+y•

y22-y12

2p

+

y1y2(y1-y2)

2p

=0
∴x-y•

y1+y2

2p

-2p=0
∴x-y•（-

y

x

）-2p=0
∴x²+y²-2px=0，（x≠0）．
即D点的轨迹方程为x²+y²-2px=0，（x≠0）．
故选D．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查学生的计算能力，属于中档题．