Question

如图，设抛物线方程为，M为直线上任意一点，过M引抛物

线的切线，切点分别为A，B

（I）求证A，M，B三点的横坐标成等差数列；

（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，一2p）时，．求此时抛物线的方程

（Ⅲ）是否存在点M．使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上，其中，点C满足（O为坐标原点）若存在。求出所有适合题意的点M的坐标；

若不存在，请说明理由。

Answer 1

（Ⅰ）证明：由题意设A（），B（），，M（）

由，得，则，

所以  k_MA=,,k_MB

因此  直线MA的方程为

直线MB的议程为

所以             ①

              ②

由①、②得        因此

所以A、M、B三点的横坐标成等差数列。

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x₀=2时，

将其代入①、②并整理得：

所以  x_1、x₂是方程的两根，

因此 

又    ，

所以  

由弦长公式得

又   

所以   或

因此所求抛物线方程为或

（Ⅲ）解：设D（x_{3 ,} y₃）,由题意得C（x₁+x₂,y₁+y₂）,

则CD的中点坐标为，

设直线AB的方程为，

由点Q在直线AB上，并注意到点也在直线AB上，

代入得

若D在抛物线上，则，

因此  或

即D（0，0）或D（）。

（1）当x₀=0时，则,此时，点M（0，-2p）适合题意。

（2）当，对于D(0,0),此时。