Question

18．如图所示，圆柱的高为2，底面半径为$\sqrt{7}$，AE，DF是圆柱的两条母线，过AD做圆柱的截面交下底面于BC，四边形ABCD是正方形．
（I）求证：BC⊥BE；
（Ⅱ）求四棱锥E-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （I）由圆柱母线垂直底面得AE⊥BC，又BC⊥AB，得出BC⊥平面ABE，于是BC⊥BE；
（II）过E作EO⊥AB，则可证EO⊥平面ABCD，设正方形边长为x，求出BE，在Rt△BCE中利用勾股定理列方程解出x，代入棱锥的体积公式计算．

解答 证明：（I）∵AE是圆柱的母线，
∴AE⊥底面BCFE，∵BC?平面BCFE，
∴AE⊥BC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC⊥AB，
又AB?平面ABE，AE?平面ABE，AB∩AE=A，
∴BC⊥平面ABE，∵BE?平面ABE，
∴BC⊥BE．
（II）过E作EO⊥AB于O，
由（I）知BC⊥平面ABE，∵EO?平面ABE，
∴BC⊥EO，又AB?平面ABCD，BC?平面ABCD，AB∩BC=B，
∴EO⊥平面ABCD．
设正方形ABCD的边长为x，则AB=BC=x，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-4}$，
∵BC⊥BE，∴EC为圆柱底面直径，即EC=2$\sqrt{7}$．
∵BE²+BC²=EC²，即x²-4+x²=28，解得x=4，
∴BE=2$\sqrt{3}$，EO=$\frac{AE•BE}{AB}=\sqrt{3}$，S_{正方形ABCD}=16，
∴V_E-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{正方形ABCD}•EO$=$\frac{1}{3}×16×\sqrt{3}$=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．