Question

在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，D为AB的中点，AB＝2，A₁A＝，如图．

求证：(1)CD⊥AB₁；

(2)AB₁⊥BC₁．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)∵ABC为正三角形，∴CA＝CB，D为中点，∴CD⊥AB　　2分 　　又∵三棱柱正三棱柱，∴A1A⊥平面ABC∴A1A⊥CD，又A1A∩AB＝A， 　　∴CD⊥平面A1ABB1　　5分 　　∴CD⊥AB1　　6分 　　(2)取中点，连结，　　7分 　　同法可证⊥平面A1ABB1从而⊥AB1　　8分 　　在矩形A1ABB1中，AB＝2，A1A＝，为中点， 　　∴A1D1＝D1B1＝1， 　　由及∠ABB1＝∠BB1D1＝900， 　　可得∽，∴∠B1AB＝∠B1BD1， 　　而∠B1BD1＋∠ABD1＝900，∴∠B1AB＋∠ABD1＝900，∴AB1⊥BD1　　12分 　　BD1∩C1D1＝D1，∴AB1⊥平面BC1D1，∴AB1⊥BC1　　14分