Question

如图所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长为a，侧棱长为

2

2

a，D是棱A₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：BC₁∥平面AB₁D；
（Ⅱ）求二面角A₁-AB₁-D的大小；
（Ⅲ）求点C₁到平面AB₁D的距离．

Answer 1

分析：（I）要证线面平行，先证线与线平行，连接A₁B与AB₁交于E，则E为A₁B的中点，得到D为A₁C₁的中点，得到DE为△A₁BC₁的中位线，得到平行．
（II）先做出二面角的平面角，根据由三垂线定理的逆定理可得EF⊥AB₁．则∠DEF为二面角的平面角，根据三角形相似，求出三角形的角度大小，就得到二面角的平面角．
（III）要求点到面的距离，根据同一个几何体的体积相等，其中一个几何体的高就是要求的点到面的距离，解方程得到结果．

解答：解：（Ⅰ） 连接A₁B与AB₁交于E，则E为A₁B的中点，
∵D为A₁C₁的中点，
∴DE为△A₁BC₁的中位线，
∴BC₁∥DE
又DE?平面AB₁D，BC₁?平面AB₁D，
∴BC ₁∥平面AB₁D
（Ⅱ）过D作DF⊥A₁B₁于F，由正三棱柱的性质可知，
DF⊥平面AB₁，连接EF，DE，在正△A₁B₁C₁中，
B1D=

3

2

，A1B1=

3 a

2

在直角三角形AA₁D中，AD=

3 a

2

∴AD=B₁D，DE⊥AB₁
由三垂线定理的逆定理可得EF⊥AB₁．则∠DEF为二面角的平面角，
又得DF=

3

4

a
∵△B₁FE∽△B₁AA₁
∴EF=

3

4

a
∴∠DEF=

π

4

故所求二面角的大小为

π

4

（Ⅲ）设求点C₁到平面AB₁D的距离h
因AD²+DB₁²=AB₁²，所以AD⊥DB₁，
故VC1-AB1D=VA-C1B1D
∴

1

3

S△AB1D•h=

1

3

s△c1B1D     •A₁A
∴h=

6

6

a
即点C₁到平面AB₁D的距离是

6

6

a

点评：本题考查二面角的平面角及求法，解题的关键是看出二面角的平面角，把平面角放到一个可解的三角形中，本题还利用等体积法求点到面的距离．