Question

【题目】已知函数f（x）=lnx+mx（m为常数）．
（1）讨论函数f（x）的单调区间；
（2）当 时，设 的两个极值点x1 ， x2（x1＜x2）恰为h（x）=2lnx﹣ax﹣x2的零点，求 的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，x＞0，

当m＜0时，由1+mx＞0，解得 ，

即当 时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；

由1+mx＜0解得 ，即当 时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；

当m=0时， ，即f（x）在（0，+∞）上单调递增；

当m＞0时，1+mx＞0，故f'（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增．

所以当m＜0时，f（x）的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；

当m≥0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）

（2）解：由 得 ，

由已知x2+mx+1=0有两个互异实根x1，x2，

由根与系数的关系得x1+x2=﹣m，x1x2=1，

因为x1，x2（x1＜x2）是h（x）的两个零点，

故 ① ②

由②﹣①得： ，

解得 ，

因为 ，得 ，

将 代入得：

= = ，

所以 ，

设 ，因为 ，

所以 ，所以 ，

所以 ，所以t≥2．

构造 ，得 ，

则 在[2，+∞）上是增函数，

所以 ，即 的最小值为

【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，得到x1+x2=﹣m，x1x2=1，求出 的解析式，根据函数的单调性求出其最小值即可．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．