Question

【题目】已知正项等比数列的前项和为，首项，且，正项数列满足，.

（1）求数列，的通项公式；

（2）记，是否存在正整数，使得对任意正整数，恒成立？若存在，求正整数的最小值，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）先设等比数列的公比为，根据题中条件，求出公比，即可得出的通项公式；再由累乘法求出，根据题中条件求出，代入验证，即可得出的通项公式；

（2）先由（1）化简，根据，求出的最大值，进而可得出结果.

解：（1）设等比数列的公比为，

由，得，

又，则，

所以.

，由，得

，，…，，

以上各式相乘得：，所以.

在中，分别令，，得，满足.

因此.

（2）由（1）知，，

∴，

又∵，

∴，

令，得，

∴，解得，

∴当时，，即.

∵当时，，，

∴，即.

此时，即，

∴的最大值为.

若存在正整数，使得对任意正整数，恒成立，则，

∴正整数的最小值为4.