Question

【题目】已知函数，其中t∈R.

(1)当t＝1时，求曲线在点处的切线方程；

(2)当t≠0时，求的单调区间．

Answer 1

【答案】(1) y＝－6x.

(2)见解析.

【解析】分析：（1）求出导数，得到切线斜率，然后可得切线方程；

（2）求出导函数，由得或，按和的大小分类讨论后可得的正负及单调区间．

详解： (1)当t＝1时，f(x)＝4x3＋3x2－6x，f(0)＝0，f′(x)＝12x2＋6x－6，f′(0)＝－6.

所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－6x.

(2) f′(x)＝12x2＋6tx－6t2. 令f′(x)＝0，解得x＝－t或x＝.

因为t≠0，所以分两种情况讨论：

①若t<0，则<－t.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x			(－t，＋∞)
f′(x)	＋	－	＋
f(x)	↗	↘	↗

所以f(x)的单调递增区间是，(－t，＋∞)；f(x)的单调递减区间是.

②若t>0，则－t<.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x	(－∞，－t)
f′(x)	＋	－	＋
f(x)	↗	↘	↗

所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－t)，；f(x)的单调递减区间是.