题目内容
如图，已知曲线C1：y=x3(x≥0)与曲线C2：y=-2x3+3x(x≥0)交于点O、A，直线x=t(0＜t＜1)与曲线C1、C2分别相交于点B、D，
（Ⅰ）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系S=f(t)；
（Ⅱ）讨论f(t)的单调性，并求f(t)的最大值。
（Ⅰ）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系S=f(t)；
（Ⅱ）讨论f(t)的单调性，并求f(t)的最大值。
解：（Ⅰ）由题意得交点O、A的坐标分别是（0，0），（1，1），
f(t)=S△ABD+S△OBD=
|BD|·|1-0|=
|BD|=
(-3t3+3t)，
即f(t)=-(t3-t)，(0＜t＜1)。
（Ⅱ）f＇(t)=-
t2+
，令f＇(t)=0，解得t=
，
当0＜t＜时，f＇(t)＞0，从而f(t)在区间（0，
）上是增函数；
当＜t＜1时，f＇(t)＜0，从而f(t)在区间（
，1）上是减函数；
所以当t=
时，f(t)有最大值为f(
)=
。
f(t)=S△ABD+S△OBD=
|BD|·|1-0|=|BD|=(-3t3+3t)，即f(t)=-
(t3-t)，(0＜t＜1)。（Ⅱ）f＇(t)=-
t2+，令f＇(t)=0，解得t=，当0＜t＜
时，f＇(t)＞0，从而f(t)在区间（0，）上是增函数；当
＜t＜1时，f＇(t)＜0，从而f(t)在区间（，1）上是减函数；所以当t=
时，f(t)有最大值为f()=。 
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