Question

设二次函数，对任意实数，有恒成立；数列满足.
（1）求函数的解析式和值域；
（2）证明：当时，数列在该区间上是递增数列；
（3）已知，是否存在非零整数，使得对任意，都有
 恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由.

Answer 1

(1)，值域为；（2）证明见解析；（3）存在，且．

试题分析：（1）这是一个不等式恒成立问题，把不等式转化为恒成立，那么这一定是二次不等式，恒成立的条件是可解得，从而得到的解析式，其值域也易求得；（2）要证明数列在该区间上是递增数列，即证，也即，根据的定义，可把化为关于的二次函数，再利用，可得结论；（3）这是一道存在性问题，解决问题的方法一般是假设存在符合题意的结论，本题中假设存在，使不等式成立，为了求出，一般要把不等式左边的和求出来，这就要求我们要研究清楚第一项是什么？这个和是什么数列的和？由，从而，
，不妨设，则（），对这个递推公式我们可以两边取对数把问题转化为，这是数列的递推公式，可以变为一个等比数列，方法是上式可变为，即数列是公比为2的等比数列，其通项公式易求，反过来，可求得，从而求出不等式左边的和，化简不等式．
试题解析：（1）由恒成立等价于恒成立，
从而得：，化简得，从而得，所以，
3分
其值域为.                                        4分
（2）解：  
6分
， 8分
从而得，即，所以数列在区间上是递增数列.    10分
（3）由（2）知，从而；
，即；
12分
令，则有且；
从而有，可得，所以数列是为首项，公比为的等比数列，
从而得，即，
所以 ，
所以，所以，
所以，
.
即，所以，恒成立.       15分
当为奇数时，即恒成立，当且仅当时，有最小值为.       16分
当为偶数时，即恒成立，当且仅当时，有最大值为.      17分
所以，对任意，有.又非零整数，      18分，的数列通项公式，等比数列的前项和．