题目内容
（2012•上海）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点，已知∠BAC=| π |
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（1）三棱锥P-ABC的体积；
（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）
分析：（1）首先根据三角形面积公式，算出直角三角形ABC的面积：S△ABC=2
，然后根据PA⊥底面ABC，结合锥体体积公式，得到三棱锥P-ABC的体积；
（2）取BP中点E，连接AE、DE，在△PBC中，根据中位线定理得到DE∥BC，所以∠ADE（或其补角）是异面直线BC、AD所成的角．然后在△ADE中，利用余弦定理得到cos∠ADE=
，所以∠ADE=arccos
是锐角，因此，异面直线BC与AD所成的角的大小arccos
．
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（2）取BP中点E，连接AE、DE，在△PBC中，根据中位线定理得到DE∥BC，所以∠ADE（或其补角）是异面直线BC、AD所成的角．然后在△ADE中，利用余弦定理得到cos∠ADE=
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解答：
解：（1）∵∠BAC=
，AB=2，AC=2
，
∴S△ABC=
×2×2
=2
又∵PA⊥底面ABC，PA=2
∴三棱锥P-ABC的体积为：V=
×S△ABC×PA=
；
（2）取BP中点E，连接AE、DE，
∵△PBC中，D、E分别为PC、PB中点
∴DE∥BC，所以∠ADE（或其补角）是异面直线BC、AD所成的角．
∵在△ADE中，DE=2，AE=
，AD=2
∴cos∠ADE=
=
，可得∠ADE=arccos
（锐角）
因此，异面直线BC与AD所成的角的大小arccos
．
解：（1）∵∠BAC=| π |
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∴S△ABC=
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又∵PA⊥底面ABC，PA=2
∴三棱锥P-ABC的体积为：V=
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（2）取BP中点E，连接AE、DE，
∵△PBC中，D、E分别为PC、PB中点
∴DE∥BC，所以∠ADE（或其补角）是异面直线BC、AD所成的角．
∵在△ADE中，DE=2，AE=
| 2 |
∴cos∠ADE=
| 22+22-2 |
| 2×2×2 |
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因此，异面直线BC与AD所成的角的大小arccos
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点评：本题给出一个特殊的三棱锥，以求体积和异面直线所成角为载体，考查了棱柱、棱锥、棱台的体积和异面直线及其所成的角等知识点，属于基础题．
练习册系列答案
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