Question

【题目】已知两个不同的单位向量与之间满足关系：，其中．

（1）若，求的解析式；

（2）能否和垂直？能否和平行？若不能，则说明理由；若能，则求出对应的k值；

（3）求与夹角的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）不能垂直，不能平行，理由见解析；（3）

【解析】

（1）将两边平方，根据单位向量的长度为1，可得结果；

（2）根据无解得到与不能垂直，根据无解得到与不能平行.

（3）根据基本不等式可得与夹角的余弦值的最小值，再根据余弦函数的单调性可得夹角的最大值.

（1）由，得，

得，

所以.

（2）若，则，则，此方程无解，故与不能垂直，

若，因为与是两个不同的单位向量，则，即，因为，所以此方程无解，故与不能平行.

（3）设与夹角为，则，

当且仅当时，等号成立，此时取最小值，

因为，且在上递减，所以取最大值，所以与夹角的最大值是.