Question

22.椭圆的中心是原点O，它的短轴长为2,相应于焦点F（c,0）（c>0）的准线l与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.

（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；

（Ⅱ）若· =0，求直线PQ的方程;

（Ⅲ）设=λ（λ>1），过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明=－λ.

Answer 1

22.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程、平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力.

（Ⅰ）解：由题意，可设椭圆的方程为+=1（a＞）.

由已知得

解得a=,c=2.

所以椭圆的方程为+=1,离心率e=.

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得A（3，0）.

设直线PQ的方程为y=k（x－3）,由方程组

得（3k²+1）x²－18k²x+27k²－6=0.

依题意Δ=12（2－3k²）＞0，得

－＜k＜.

设P（x₁,y₁）,Q（x₂,y₂），则

x₁+x₂=,                                                              ①

x₁x₂=.                                                             ②

由直线PQ的方程得y₁=k（x₁－3）,y₂=k（x₂－3）.于是

y₁y₂=k²（x₁－3）（x₂－3）=k²［x₁x₂－3（x₁+x₂）+9］.   ③

∵· =0,  ∴x₁x₂+y₁y₂=0.                                      ④

由①②③④得5k²=1,从而k=±∈（－,）.

所以直线PQ的方程为

x－y－3=0或x+y－3=0.

（Ⅲ）证明：=（x₁－3,y₁）,=（x₂－3,y₂）.由已知得方程组

注意λ＞1，解得x₂=.

因F（2,0），M（x₁,－y₁），故

=（x₁－2,－y₁）=（λ（x₂－3）+1,－y₁）

=（,－y₁）=－λ（,y₂）.

而=（x₂－2,y₂）=（,y₂），所以

=－λ.