题目内容
（13分）如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20m，要求通行车辆限高5m，隧道全长2.5km，隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆。
（1）若最大拱高h为6 m，则隧道设计的拱宽
是多少？
（2）若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程 量最小，则应如何设计拱高h和拱宽？（已知：椭圆
+
=1的面积公式为S=
，柱体体积为底面积乘以高。）
（3）为了使隧道内部美观，要求在拱线上找两个点M、N，使它们所在位置的高度恰好是限高5m，现以M、N以及椭圆的左、右顶点为支点，用合金钢板把隧道拱线部分连接封闭，形成一个梯形，若l=30m，梯形两腰所在侧面单位面积的钢板造价是梯形顶部单位面积钢板造价的
倍，试确定M、N的位置以及
的值，使总造价最少。
（1）
m；（2）当拱高为(
+3)m、拱宽为20m时，隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小;（3）
,
.
解析试题分析：（1）先建立直角坐标系，找到对应椭圆方程再把b=h-3=3与点P坐标代入椭圆方程，即可求出隧道设计的拱宽l是多少；
（2）转化为求半椭圆的面积最小值问题，对椭圆方程用基本不等式即可求出对应的半椭圆面积以及满足要求的拱高h和拱宽l．
（3）先求出总造价的表达式，再利用导函数研究其最值即可．
试题解析：解：（1）如下图建立直角坐标系，则点P（10，2），椭圆方程为+=1，将b=h－3=3与点P坐标代入椭圆方程，得a=
，l=2a=，隧道的拱宽约为m。 5分
（2）要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，由柱体的体积公式可知：只需半椭
圆的面积最小即可。
由椭圆方程+=1，得
+
=1。因为+≥
，即ab≥40，…8分
所以半椭圆面积S=
≥
。当S取最小值时，有==
，得a=10，b=，此时l=2a=20， h=b+3=+3，故当拱高为(+3)m、拱宽为20m时，隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小 13分
（3）设
，
设
=
+·
=2
（10
），则
令
得
或17（舍）∴时，取最小值，此时,代入椭圆方程得
∴… 13分
考点：1.圆与圆锥曲线的综合；2.利用导数求闭区间上函数的最值．
应用题作业本系列答案
：
.
轴上的椭圆，求
的取值范围；
，过点
的直线
与曲线
,
两点，
为坐标原点，若
为直角，求直线
,椭圆
以
的长轴为短轴,且与
,求直线
的方程.
，直线
与E交于A、B两点，且
，其中O为原点.
，记直线CA、CB的斜率分别为
，证明：
为定值.
上一个动点，M为点P在y轴上的投影，动点Q满足
．
，交曲线C于A、B两点，且A、B同在以点D（0，1）为圆心的圆上，求直线l的方程。
的离心率为
,其中左焦点
(-2,0).
、
是过抛物线
焦点
的两条弦，且其焦点
，
，点
为
轴上一点，记
，其中
为锐角．
．
的焦点为F，过F的直线交抛物线于M、N两点，其准线
与x轴交于K点.
的最小值.
与椭圆
有公共焦点
，且椭圆过点
.
、
是椭圆的上下顶点，点
为右顶点，记过点
，过点
，求直线
、
，试问直线
是否经过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.