Question

16．我校为进行“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S（平方米）的矩形AMPN健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上．已知∠ACB=60°，|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，20]．设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为$\frac{37k}{{\sqrt{S}}}$元，再把矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为$\frac{12k}{{\sqrt{S}}}$元（k为正常数）．
（1）试用x表示S，并求S的取值范围；
（2）求总造价T关于面积S的函数T=f（S）；
（3）如何选取|AM|，使总造价T最低（不要求求出最低造价）．

Answer 1

分析 （1）由解直角三角形，可得矩形AMPN的面积$S=|PM|•|MC|=\sqrt{3}x（30-x）$，x∈[10，20]，运用二次函数的最值求法，可得值域；
（2）由三角形的面积和题意可得总造价T=T₁+T₂，即可得到所求；
（3）运用基本不等式，计算即可得到所求x=12或18．

解答 解：（1）在Rt△PMC中，显然|MC|=30-x，∠PCM=60°，
∴$|PM|=|MC|•tan∠PCM=\sqrt{3}（30-x）$，
矩形AMPN的面积$S=|PM|•|MC|=\sqrt{3}x（30-x）$，x∈[10，20]，
由x（30-x）≤（$\frac{x+30-x}{2}$）²=225，当x=15时，可得最大值为225$\sqrt{3}$，
当x=10或20时，取得最小值200$\sqrt{3}$，
于是$200\sqrt{3}≤S≤225\sqrt{3}$为所求．
（2）矩形AMPN健身场地造价T₁=$37k\sqrt{S}$，
又△ABC的面积为$450\sqrt{3}$，即草坪造价T₂=$\frac{12k}{{\sqrt{S}}}（450\sqrt{3}-S）$，
由总造价T=T₁+T₂，
∴$T=25k（\sqrt{S}+\frac{{216\sqrt{3}}}{{\sqrt{S}}}）$，$200\sqrt{3}≤S≤225\sqrt{3}$．
（3）∵$\sqrt{S}+\frac{{216\sqrt{3}}}{{\sqrt{S}}}≥12\sqrt{6\sqrt{3}}$，
当且仅当$\sqrt{S}=\frac{{216\sqrt{3}}}{{\sqrt{S}}}$即$S=216\sqrt{3}$时等号成立，
此时$\sqrt{3}x（30-x）=216\sqrt{3}$，解得x=12或x=18，
答：选取|AM|的长为12米或18米时总造价T最低．

点评 本题考查函数模型的运用，考查函数的值域和最值的求法，注意运用函数的单调性和基本不等式，考查运算能力，属于中档题．