Question

【题目】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）= ．
（1）证明：a、c、b成等差数列；
（2）求cosC的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵2（tanA+tanB）= ，

∴ ，

∴ = ，

即2sin（A+B）=sinA+sinB，

又∵A+B=π﹣C，

∴2sinC=sinA+sinB，

由正弦定理得，2c=a+b所以，a、c、b成等差数列；

（2）解：由余弦定理得， ，

∵a+b=2c，

∴ ，

又∵ ，

∴ ，

即 ．

所以cosC的最小值为 ．

【解析】（1）由已知及三角函数恒等变换的应用化简可得2sin（A+B）=sinA+sinB，又结合三角形内角和定理，正弦定理得2c=a+b即可得解a，b，c成等差数列；（2）由余弦定理及a+b=2c，可得 ，利用基本不等式可得 ，进而可解得cosC的最小值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解正弦定理的定义的相关知识，掌握正弦定理:，以及对余弦定理的定义的理解，了解余弦定理:;;．