Question

求函数f（x）=xe^x的单调区间和极值．

Answer 1

解：∵函数f（x）=xe^x的定义域为R，
f'（x）=（xe^x）^′=x^′e^x+x（e^x）^′=e^x+xe^x
令f'（x）=e^x+xe^x=e^x（1+x）=0，解得：x=-1．
列表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	极小值	↑

由表可知函数f（x）=xe^x的单调递减区间为（-∞，-1），单调递增区间为（-1，+∞）．
当x=-1时，函数f（x）=xe^x的极小值为．
分析：求出函数的导函数，由导函数等于0求出x的值，以求出的x的值为分界点把原函数的定义域分段，以表格的形式列出导函数在各区间段内的符号及原函数的增减性，从而得到函数的单调区间及极值点，把极值点的坐标代入原函数求极值．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，在求出导函数等于0的x值后，借助于表格分析能使解题思路更加清晰，此题是中档题．