Question

已知函数f（x）=xe^-x（x∈R）．
（1）求函数f（x）在x=1的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间和极值．

Answer 1

分析：（1）先求函数的导函数f′（x），再求所求切线的斜率即f′（1），由于切点为（1，

1

e

），即可得所求切线的方程；
（2）求导函数，由导数的正负，可得函数的单调区间，从而可求函数的极值．

解答：解：（1）∵f（x）=xe^-x，∴f′（x）=x（e^-x）′+x′e^-x=e^-x（-x+1）
∴f′（1）=0，f（1）=

1

e

即函数f（x）图象在x=1处的切线斜率为0
∴图象在x=1处的切线方程为y=

1

e

（2）求导函数，f′（x）=（1-x）e^-x，令f′（x）=0，解得x=1
由f′（x）＞0，可得x＜1；由f′（x）＜0，可得x＞1
∴函数在（-∞，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数
∴函数在x=1时取得极大值f（1）=

1

e

．

点评：本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性与极值，属于中档题．