Question

已知函数f(x)=

lnx

x

．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间及其极值；
（Ⅱ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有x(x-1)2ex+

x

e

＞lnx成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f′（x）=0时x的值，然后讨论x的取值来决定导函数的正负判断函数的单调区间即可得到函数极值．
（Ⅱ）由x(x-1)2ex+

x

e

＞lnx恒成立则有(x-1)2ex+

1

e

＞

lnx

x

，即函数(x-1)2ex+

1

e

的最小值大于等于函数f(x)=

lnx

x

的最大值证出即可．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=

1-lnx

x2

=0，解得x=e，
又x∈（0，+∞），
当x＞e时，f′（x）＜0，函数为减函数；当0＜x＜e时，f′（x）＞0，函数为增函数．
所以f（x）的极大值为f(e)=

lne

e

=

1

e

；
（Ⅱ）证明：对一切x∈（0，+∞），
都有x(x-1)2ex+

x

e

＞lnx成立则有(x-1)2ex+

1

e

＞

lnx

x

，
由（Ⅰ）知，f（x）的最大值为f(e)=

1

e

，
并且(x-1)2ex+

1

e

≥

1

e

成立，当且仅当x=1时成立，
函数(x-1)2ex+

1

e

的最小值大于等于函数f(x)=

lnx

x

的最大值，
但等号不能同时成立．
所以，对一切x∈（0，+∞），都有x(x-1)2ex+

x

e

＞lnx成立．

点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，以及不等式恒成立条件的理解能力．